📙[Algo] 24.07.29 알고리즘

알고리즘 문제) BOJ 1450. 냅색문제

• 링크 : https://www.acmicpc.net/problem/1450

문제 요약

• N개의 물건이 존재하며,
• 최대 C만큼 넣을 수 있는 가방 존재
• 이때, N개의 물건을 가방에 넣는 방법의 수는?

시간 제한

• 1초

입력

• N C
  • N : 1 ~ 30
  • C : 0 ~ 10억
• 물건의 무게가 차례대로 한줄에 주어짐
  • 무게 : 1 ~ 10억

출력

• 가방에 넣는 방법의 수는?

접근법

• 완전탐색으로 먼저 접근하기
  • 가방은 선택O or 선택 X 두 케이스로 나뉜다.
  • 백트랙킹을 통해, 가리키는 가방을 선택하는 경우, 선택하지 않는 경우로 나눠서 재귀 호출 ⇒ 이때, 무게 합이 C보다 큰 경우는 가지치기
  • 문제점 : 완탐으로 할 경우 최악의 경우 케이스가 2의 30승까지 가능하므로 시간초과
    • 그렇다고 dp로 접근한다면 메모이제이션 배열에 현재 가리키는 배낭 인덱스, 현재까지 배낭 무게 합이 필요하므로 10억10억4byte로 메모리 초과
• 최적화 진행 ⇒ 중간에서 만나기
  • N개의 배낭을 두 개의 그룹으로 나눈 뒤
  • 각각의 그룹에서 나올 수 있는 경우의 합을 리스트에 담아둔다.
    ⇒ 2*2^(N/2)
  • 이후 두 리스트를 각각 정렬 후에, 이분탐색으로 두 원소값을 합했을 때 10이하인 경우의 수를 구한다.
    • 즉, A리스트에서 원소값이 1이라면, B리스트에서 C-1이하인 원소 중 가장 큰 원소의 인덱스+1값 구하기
      ⇒ 2*logN 
  • 최종 시간 복잡도 : 2^(N/2 + 1) + (N/2)*log(N/2) ⇒ 2^16

코드

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    static int N, C;
    static int[] arr;
    static ArrayList<Integer> aLst = new ArrayList<>();
    static ArrayList<Integer> bLst = new ArrayList<>();

    static void separate(int cur, int sum, int end) {
        if (sum > C) return;

        if (cur == end) {
            if (end == N / 2) aLst.add(sum);
            else bLst.add(sum);
            return;
        }

        // 현재 가방 선택
        separate(cur + 1, sum + arr[cur], end);

        // 현재 가방 선택 X
        separate(cur + 1, sum, end);
    }

    static int binarySearch(int aNum) {
        int s = 0, e = bLst.size() - 1, mid, ans = 0;
        while (s <= e) {
            mid = (s + e) / 2;

            if (aNum + bLst.get(mid) > C) {
                e = mid - 1;
            } else {
                ans = mid + 1;
                s = mid + 1;
            }
        }

        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st;

        st = new StringTokenizer(br.readLine());
        N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        C = Integer.parseInt(st.nextToken());

        arr = new int[N];
        st = new StringTokenizer(br.readLine());
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            arr[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
        }

        // a리스트 만들기
        separate(0, 0, N / 2);

        // b리스트 만들기
        separate(N / 2, 0, N);

        Collections.sort(bLst);

        int num, cnt = 0;
        for (int i = 0, size = aLst.size(); i < size; i++) {
            num = aLst.get(i);
            cnt += binarySearch(num);
        }

        System.out.println(cnt);
    }
}

 

알고리즘 문제) BOJ 1280. 부분수열의 합 2

• 링크 : https://www.acmicpc.net/problem/1208

문제 요약

• N개의 정수로 이루어진 수열이 있을 때, 크기가 양수인 부분수열 중 수열의 원소를 다 더한 값이 S가 되는 경우의 수는?

시간 제한

• 1초

입력

• 정수의 개수 N과, 정수 S
  • 1 ≤ N ≤ 40
  • -100만 ≤ S ≤ 100만
• N개의 정수가 빈칸을 두고 주어짐
  • 정수의 절댓값은 10만 이하

출력

• 합이 S가 되는 부분수열의 개수를 출력

접근법

• 완탐으로 접근한다면
  • 각 숫자를 선택 O 또는 선택 X 2가지 케이스가 존재하므로 최악의 경우 2^40가지가 존재 ⇒ 시간초과
• 이분탐색 + 중간에서 만나기 알고리즘으로 최적화 진행
  • 각각 N/2개의 원소를 갖는 두 그룹으로 나눈 뒤
  • 각 그룹에서 나올 수 있는 모든 경우의수 찾기 ⇒ 2 * 2^(N/2) = 2백만..
    • 이때, 나올 수 있는 경우의 수는 각각 리스트(a,b)에 담아둔다.
  • 이후, a리스트 기준으로 원소 하나씩 꺼내면서 (for문)
    • 정렬된 b리스트에서 이분탐색으로 합이 S가 되는 수중 가장 큰 인덱스(maxIdx)와 가장 작은 인덱스(minIdx)를 구한 뒤, 차이값(maxIdx-minIdx) + 1로 개수를 구하기
      • 해당 값을 누적해서 더한 값이 정답이 된다.
        ⇒  (N/2) * log(N/2)
  • 따라서 N이 40까지 가능하므로 최악의 경우 2^21개의 연산만 수행하게 된다.
• 추가로 생각해야할 점(엣지 케이스)
  • S가 0인 경우와 0이 아닌 경우를 구분해야한다.
    • S가 0인 경우, 아무것도 선택하지 않은 경우에도 카운트 될 수 있으므로 최종 합계에서 1을 빼준 값이 정답이다.
  • 나올 수 있는 경우의 수는 int 범위를 벗어날 수 있다.
    • A그룹에서 2^20, B그룹에서 2^20가지가 존재할 수 있으며,
      • 만약 모든 경우가 가능한 경우라면 2^20*2^20 = 2^40가지가 정답이 됨

코드

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    static int N, S;
    static int[] arr;
    static ArrayList<Integer> aLst = new ArrayList<>();
    static ArrayList<Integer> bLst = new ArrayList<>();

    static void separate(int cur, int end, int sum) {
        if (cur == end) {
            if (end == N / 2) aLst.add(sum);
            else bLst.add(sum);
            return;
        }

        // 현재 숫자 선택 O
        separate(cur + 1, end, sum + arr[cur]);

        // 현재 숫자 선택 X
        separate(cur + 1, end, sum);
    }

    // 합이 S가 되는 가장 작은 인덱스 출력
    static int getMinIdx(int aNum) {
        int s = 0, e = bLst.size() - 1, mid, ans = -1;
        long sum;
        while (s <= e) {
            mid = (s + e) / 2;
            sum = aNum + bLst.get(mid);

            if (sum == S) {
                // 정답 변수에 담기
                ans = mid;
                // 최대한 작은 인덱스를 찾는 것이므로
                e = mid - 1;
            } else if (sum > S) {
                // 합을 줄여야 하므로
                e = mid - 1;
            } else {
                // 합을 늘려야 하므로
                s = mid + 1;
            }
        }

        return ans;
    }

    // 합이 S가 되는 가장 큰 인덱스 출력
    static int getMaxIdx(int aNum) {
        int s = 0, e = bLst.size() - 1, mid, ans = -1;
        long sum;
        while (s <= e) {
            mid = (s + e) / 2;
            sum = aNum + bLst.get(mid);

            if (sum == S) {
                // 정답 변수에 담기
                ans = mid;
                // 최대한 큰 인덱스를 찾는 것이므로
                s = mid + 1;
            } else if (sum > S) {
                // 합을 줄여야 하므로
                e = mid - 1;
            } else {
                // 합을 늘려야 하므로
                s = mid + 1;
            }
        }

        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st;

        st = new StringTokenizer(br.readLine());
        N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        S = Integer.parseInt(st.nextToken());

        arr = new int[N];
        st = new StringTokenizer(br.readLine());
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            arr[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
        }

        separate(0, N / 2, 0);
        separate(N / 2, N, 0);

        Collections.sort(bLst);
        int num, max, min;
        long cnt = 0;
        for (int i = 0, size = aLst.size(); i < size; i++) {
            num = aLst.get(i);
            max = getMaxIdx(num);
            min = getMinIdx(num);

            if (max != -1 && min != -1) {
                cnt += (max - min + 1);
            }
        }

        // S가 0인경우 부분 수열 크기가 0인 경우는 제거해야하므로 -1
        if (S == 0) System.out.println(cnt - 1);
        else System.out.println(cnt);
    }
}